ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্টের সকল কিছু | One Sample T Test

---

১. কীভাবে ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্টের ফলাফল ব্যাখ্যা করতে হয়?

ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্টের ফলাফল ব্যাখ্যা করার জন্য প্রধানত t-মান, p-value, এবং Confidence Interval (CI) বিশ্লেষণ করতে হয়।

ধাপে ধাপে ব্যাখ্যার প্রক্রিয়া:

✅ t-মান পরীক্ষা:

• t-স্ট্যাটিস্টিক (t-value) যদি খুব বেশি বা খুব কম হয়, তাহলে আমাদের অনুমিত গড় থেকে নমুনার গড় উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা হতে পারে।

✅ p-value পরীক্ষা:

• যদি p-value < 0.05 হয়, তাহলে আমরা Null Hypothesis (H₀) প্রত্যাখ্যান করব এবং বলব যে, নমুনার গড় অনুমিত গড় থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন।
• যদি p-value > 0.05 হয়, তাহলে আমরা বলব যে, নমুনার গড় অনুমিত গড় থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা নয়।

✅ Confidence Interval (CI) ব্যাখ্যা:

• যদি নির্ধারিত ৯৫% CI-র মধ্যে অনুমিত গড় মান থাকে, তাহলে গড়ের মধ্যে উল্লেখযোগ্য পার্থক্য নেই।
• যদি অনুমিত গড় মান CI-র বাইরে থাকে, তাহলে বলা যায় যে, নমুনার গড় অনুমিত গড় থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা।

উদাহরণ:

একটি স্কুলে গড় পরীক্ষার স্কোর ৭৫% হওয়ার কথা, কিন্তু কিছু শিক্ষার্থীর স্কোর নিয়ে ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্ট করার পর—

🔹 $t = 2.35$, $p = 0.02$, এবং ৯৫% CI $[76.1, 80.2]$ পাওয়া গেল।
🔹 যেহেতু p < 0.05, তাই আমরা বলব যে, শিক্ষার্থীদের গড় স্কোর ৭৫% থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা।

---

২. ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্টের সীমাবদ্ধতাগুলো কী কী?

ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্ট ব্যবহারের কিছু শর্ত ও সীমাবদ্ধতা রয়েছে।

মূল সীমাবদ্ধতা:

✔ নরমালিটি অনুমান: ছোট নমুনার ক্ষেত্রে (n < 30), ডাটা স্বাভাবিক বণ্টিত (Normal Distribution) হতে হবে।
✔ স্বাধীন নমুনা প্রয়োজন: নমুনাগুলো একে অপরের উপর নির্ভরশীল হলে, পেয়ার্ড টি-টেস্ট ব্যবহার করতে হবে।
✔ আসল জনসংখ্যার গড় জানা থাকতে হবে: পরীক্ষার জন্য একটি Hypothesized Mean ($\mu$) দরকার।
✔ আউটলায়ারের প্রভাব: ছোট নমুনার ক্ষেত্রে কোনো একটি বড় মান (outlier) বিশ্লেষণকে প্রভাবিত করতে পারে।

---

৩. ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্টের ক্ষেত্রে Cohen’s d কীভাবে গণনা করা হয়?

Cohen’s d একটি ইফেক্ট সাইজ (Effect Size) পরিমাপ, যা বলে দেয়, আমাদের নমুনার গড় অনুমিত গড় থেকে কতটা ভিন্ন।

Cohen’s d-এর সূত্র:

$$d = \frac{\bar{x} - \mu}{s}$$

এখানে,

• $\bar{x}$ = নমুনার গড় মান
• $\mu$ = অনুমিত জনসংখ্যার গড়
• $s$ = নমুনার স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন

Cohen’s d-এর মানের ব্যাখ্যা:

✔ d = 0.2: ছোট পার্থক্য
✔ d = 0.5: মাঝারি পার্থক্য
✔ d = 0.8 বা তার বেশি: বড় পার্থক্য

উদাহরণ:
একটি কোম্পানি দাবি করছে যে, তাদের কর্মীদের গড় মাসিক বেতন $৪০০০। গবেষণায় দেখা গেল যে, ১৫ জন কর্মীর গড় বেতন $৪২০০ এবং স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন $৩০০।

$$d = \frac{4200 - 4000}{300} = \frac{200}{300} = 0.67$$

যেহেতু $d = 0.67$, তাই এটি একটি মাঝারি আকারের পার্থক্য (Medium Effect Size)।

---

৪. t-স্ট্যাটিস্টিক ও z-স্ট্যাটিস্টিকের মধ্যে পার্থক্য কী?

ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্ট ও জেড-টেস্টের মধ্যে মূল পার্থক্য হলো জনসংখ্যার স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন জানা থাকার ওপর ভিত্তি করে।

বৈশিষ্ট্য	t-স্ট্যাটিস্টিক (T-Test)	z-স্ট্যাটিস্টিক (Z-Test)
কখন ব্যবহৃত হয়?	যখন নমুনার সংখ্যা ছোট (n < 30)	যখন নমুনার সংখ্যা বড় (n ≥ 30)
জনসংখ্যার স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন ($\sigma$) জানা?	জানা নেই	জানা আছে
ডিস্ট্রিবিউশন	t-ডিস্ট্রিবিউশন	নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন
উদাহরণ	ছোট নমুনায় শিক্ষার্থীদের গড় স্কোর পরীক্ষা করা	দেশের গড় IQ স্কোর পরীক্ষা করা (যেখানে স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন জানা থাকে)

---

৫. ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্টে Confidence Interval (CI) কীভাবে ব্যাখ্যা করা হয়?

Confidence Interval (CI) হলো একটি পরিসর (Range), যেখানে আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি যে, নির্দিষ্ট সম্ভাবনার (সাধারণত ৯৫%) মধ্যে আসল জনসংখ্যার গড় (Population Mean) অবস্থান করবে।

CI নির্ণয়ের সূত্র:

$$CI = \bar{x} \pm t^* \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$

এখানে,

• $\bar{x}$ = নমুনার গড় মান
• $t^*$ = নির্দিষ্ট ডিগ্রি অফ ফ্রিডম (df) অনুযায়ী টেবুলেটেড t-মান
• $s$ = নমুনার স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন
• $n$ = নমুনার সংখ্যা

ব্যাখ্যা:

• যদি ৯৫% CI = [72, 78] হয়, তাহলে এর মানে হলো আমরা ৯৫% নিশ্চিত যে, আসল গড় মান ৭২ থেকে ৭৮-এর মধ্যে আছে।
• যদি অনুমিত গড় মান CI-র মধ্যে থাকে, তাহলে এটি পর্যাপ্ত প্রমাণ নয় যে, গড় মান আলাদা।
• যদি অনুমিত গড় মান CI-র বাইরে থাকে, তাহলে এটি নির্দেশ করে যে গড় মান উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা।

উদাহরণ:

একটি কলেজের শিক্ষার্থীদের গড় স্কোর সম্পর্কে গবেষণা করে পাওয়া গেল—

✔ নমুনার গড় স্কোর = ৭৭%
✔ ৯৫% CI = [৭৫, ৭৯]

এখানে ৭৫% থেকে ৭৯% এর মধ্যে আসল গড় থাকার সম্ভাবনা ৯৫%। যদি অনুমিত গড় মান ৭৫% হয়, তাহলে এটি CI-র মধ্যে থাকায় উল্লেখযোগ্য পার্থক্য নেই।

---

🔹 উপসংহার

ওয়ান-স্যাম্পল টি-টেস্টের ফলাফল ব্যাখ্যা করতে আমাদের t-মান, p-value এবং Confidence Interval বুঝতে হয়। এটি ছোট নমুনার ক্ষেত্রে বেশি কার্যকর, তবে নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করতে হয়। Cohen’s d ইফেক্ট সাইজ বুঝতে সাহায্য করে, আর t-টেস্ট ও z-টেস্টের পার্থক্য মূলত স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন জানা থাকার ওপর নির্ভর করে।

---